Ostatnie obliczenia

  • Odejmowanie pisemne
    2.3;0.45
  • Rozwiązanie równania
    3/x-2+1 = 2/x-3;x
    Ze zmienną: x
  • Pochodna
    (x+1)^-1
  • Rozwiązanie równania
    3/x-2+1 = 2/x-3;x
    Ze zmienną: x
  • Odejmowanie pisemne
    2.1;0.812

Działania podstawowe

Działania zawierające 0

W działaniach, w których co najmniej jedna z liczb to 0, zachodzą następujące prawa:

1. Jeżeli zero jest dodawane lub odejmowane od danej liczby, wtedy wynik jest równy tej liczbie.

Przykładowo: 9+0=0, 9-0=9, -3+0=-3, -3-0=-3, 0+0=0, 0-0=0, a+0=a, a-0=a, 0-a=-a.

2. Iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero, czyli:

a*b=0 wtedy i tylko wtedy, gdy a=0 lub b=0.

Przykładowo: 5*0=0, 0*(4/3)=0, 0*0=0, 0*(a+3)=0


3. Wynik dzielenia przez zero nie istnieje, czyli:

wyrażenie a/0 jest nieokreślone.

Dla przykładu, żadne z podanych wyrażeń nie reprezentuje liczby: 27/0, 51/(2-2), 0/0.

Często wykonujemy operację dzielenia jednego literału przez drugi. Należy pamiętać, że takie działanie nie ma wartości, kiedy literał, przez który dzielimy, przyjmuje wartość 0.

Przykładowo: jeżeli wartością x jest liczba inna niż 2, wtedy wartością wyrażenia (x2-4)/(x-2) jest x+2, ale jeżeli x=2 wtedy dzielenie jest niemożliwe i wyrażenie nie ma wartości.

Działania zwierające liczby ze znakiem

W działaniach zawierających liczby dodanie i ujemne zachodzą następujące prawa:

1. Aby dodać dwie liczby o tym samym znaku, dodaj ich wartości bezwzględne i wynik poprzedź ich wspólnym znakiem, czyli:

3+11=14, (-5)+(-7)=-(5+7) = -12.

2. Aby dodać dwie liczby o różnym znaku, odejmij ich wartości bezwzględne, a wynik poprzedź znakim liczby o większej wartości bezwzględnej, czyli:

26+(-17)=26-17=9, 14+(-19)=-(19-14)=-5, (-32)+15=-(32-15)=-17, (-17)+35=35-17=18.

3. Aby odjąć jedną liczbę od drugiej, zmień znak odejmowanej liczby i postępuj jak przy dodawaniu, czyli:

38-11=38+(-11)=27, 43-(-29)=43+29=72.

4. Aby pomnożyć (lub podzielić) dwie liczby, najpierw pomnóż (podziel) ich wartości bezwzględne. Wynik poprzedź znakiem plus, jeżeli początkowe liczby mają ten sam znak lub znakiem minus, jeżeli początkowe liczby mają przeciwne znaki, czyli:

(-9)*(-7)=9*7=63, (-17)*4=-(17*4)=-68, (-18)/(-6)=18/6=3, 42/(-7)=-(42/7)=-6.

Potęga całkowita dodatnia

Symbol a2 oznacza mnożenie a*a, symbol a3 oznacza mnożenie a*a*a. Podobnie dla każdej dodatniej liczby całkowitej symbol a^n jest określony przez równanie:

a^n=a*a*{...}, gdzie po prawej stronie równania znajduje się n razy przemnożone a.

Jeśli chcemy przemnożyć a4 i a3, robimy to w następujący sposób:

a^4*a^3=(a*a*a*a)*(a*a*a)=a^(4+3)=a7.

Dla dowolnych całkowitych dodatnich m i n robimy to w analogiczny sposób:

a^m*a^n=a^(m+n).

Jeśli chcemy podzielić a5 przez a2, mamy z definicji:

a5/a2 = (a*a*a*a*a)/(a*a)=a*a*a=a3.

Podobnie postępujemy przy dzieleniu a2 przez a5:

a2/a5=(a*a)/(a*a*a*a*a)=1/(a*a*a)=1/a^(5-2)=1/a3.

Ogólnie, jeżeli m i n są dowolnymi liczbami całkowitymi dodatnimi i m>n, wtedy

a^m/a^n=a^(m-n)

i jeżeli m<n, to:

a^m/a^n=1/(a^(n-m)).


Chcę wiedzieć więcej na temat: potęgi i pierwiastki