Ostatnie obliczenia

  • Odejmowanie pisemne
    2.3;0.45
  • Rozwiązanie równania
    3/x-2+1 = 2/x-3;x
    Ze zmienną: x
  • Pochodna
    (x+1)^-1
  • Rozwiązanie równania
    3/x-2+1 = 2/x-3;x
    Ze zmienną: x
  • Odejmowanie pisemne
    2.1;0.812

Ułamki

Skracanie ułamków

Wartością wyrażenia a/b jest liczba uzyskana z dzielenia liczby a przez liczbę b. Wartość a nazywamy licznikiem, a wartość b nazywamy mianownikiem. Mianownik musi być liczbą różną od zera, gdyż, jak wiemy, dzielenie przez zero nie ma wartości.

Wartość ułamka nie zmienia się, gdy licznik i mianownik są jednocześnie pomnożone bądź podzielone przez tę samą liczbę różną od zera, czyli:

4/11=(4*5)/(11*5)=20/55
12/-5=-12/5=-(12/5)
(12x2*y*z3)/(8x*y3*w)=((3x*z3)*(4x*y))/((2*y2*w)*(4x*y)) =(2x*z3)/(2y2*w)

Ułamek uważamy za skrócony, jeżeli nie da się znaleźć wspólnej części, przez którą można podzielić bez reszty jednocześnie licznik i mianownik.

Ułamka nie można skracać poprzez usunięcie wspólnego składnika sumy z licznika i mianownika. Przykładowo ułamek: (4x+3y)/(4x+z) jest już w swojej najprostszej postaci (jest skrócony). Nie można usunąć z licznika i mianownika wspólnego wyrazu 4x.

Mnożenie i dzielenie ułamków

Wynikiem mnożenia dwóch ułamków jest ułamek mający w liczniku iloczyn liczników, a w mianowniku iloczyn mianowników ułamków będących czynnikami mnożenia:
(a/b)*(c/d)=(a*b)/(c*d)

Uzyskany rezultat powinien być skrócony. Aby łatwiej uzyskać skróconą postać wyniku mnożenia, zwykle najpierw rozkałda się na czynniki liczniki i mianowniki mnożonych ułamków, skraca się wspólne czynniki, a dopiero później mnoży.

Przykład 1. Pomnóż 21/22 przez 55/14
(21/22)*(55/14)=((3*7)/(2*11))*((5*11)/(2*7))=(3*7*5*11)/(2*11*2*7)=15/4

Przykład 2. Pomnóż (x3+8y3)/(x2-9y2) przez (x2-4x*y+3y2)/(x2-2x*y-8y2)
((x3+8y3)/(x2-9y2))*((x2-4x*y+3y2)/(x2-2x*y-8y2))=
(((x+2y)*(x2-2x*y+4y2))/((x-3y)*(x+3y)))*(((x-3y)*(x-y))/((x+2y)*(x-4y)))=
((x2-2x*y+4y2)*(x-y))/((x+3y)*(x-4y))


Jeżeli chcemy przemnożyć ułamek przez liczbę całkowitą, wtedy zamieniamy liczbę całkowitą na ułamek mający jedność w mianowniku, np:
mnożenie ułamka przez liczbę=(a*c)/b


Aby podzielić ułamek przez ułamek, zamień miejscami licznik z mianownikiem dzielnika i dalej postępuj, jak przy mnożeniu:
dzielenie ułamków=(a*d)/(b*c)

Odwrotność

Odwrotność liczby to jedność podzielona przez tę liczbę. Odwrotnością 3 jest 1/3, odwrotnością a jest 1/a natomiast odwrotnością c/d jest 1/(c/d)=d/c. Mając zdefiniowaną odwrotność, możemy powiedzieć, że dzielenie ułamków to pomnożenie ułamka będącego dzielną przez odwrotność ułamka będącego dzielnikiem.

Dodawanie i odejmowanie ułamków

Suma ułamków o tym samym mianowniku jest równa sumie liczników podzielonych przez wspólny mianownik:
a/d+b/d+c/d=(a+b+c)/d


Żeby odjąć któryś ze składników, postępuj tak samo, uwzględniając odpowiedni znak różnicy:
a/d+b/d-c/d=(a+b-c)/d


Jeżeli chcemy dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, najpierw musimy je doprowadzić do wspólnego mianownika. Znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność wszystkich mianowników i używamy jej jako wspólnego mianownika. Dalej postępujamy podobnie, jak opisano wyżej.

Przykład 1. Wykonaj działania: (3x-4)/(x+2)+(5x-3)/(x+1)-(2x+7)/(x).

W tym przypadku najmniejsza wspólna wielokrotność wszystkich mianowników to po prostu ich iloczyn: x*(x+1)*(x+2). Aby doprowadzić pierwszy z ułamków do postaci z porządanym mianownikiem, musimy pomnożyć jego licznik i mianownik przez: (x*(x+1)*(x+2))/(x+2)=x*(x+1)

(wspólny mianownik dzielimy przez mianownik ułamka, który chcemy doprowadzić do postaci ze wspólnym mianownikiem). Podobnie musimy pomnożyć licznik i mianownik drugiego i trzeciego ułamka odpowiednio przez: (x*(x+1)*(x+2))/(x+1)=x*(x+2) i (x*(x+1)*(x+2))/x=(x+1)*(x+2). Uzyskujemy:
(3x-4)/(x+2)+(5x-3)/(x+1)-(2x+7)/(x)= (x*(x+1)*(3x-4))/(x*(x+1)*(x+2))+(x*(x+2)*(5x-3))/(x*(x+1)*(x+2))-((x+1)*(x+2)*(2x+7))/(x*(x+1)*(x+2))= (x*(x+1)*(3x-4)+x*(x+2)*(5x-3)-(x+1)*(x+2)*(2x+7))/(x*(x+1)*(x+2))= (6x3-7x2-35x-14)/(x3+3x2+2x)

Wyrażenie mieszane, takie jak a+b/c, gdzie a jest liczbą całkowitą, może być obliczone poprzez zamianę a na a/1 i dalej jak w poprzednim przykładnie.

Ułamki złożone

Ułamek złożony to ułamek, którego licznik lub mianownik jest ułamkiem.
Aby skrócić ułamek złożony, najpierw redukujemy oddzielnie jego licznik i mianownik do ułamka prostego. Później dzielimy licznik przez mianownik.
Przykład 1 Uprość: ((a+b)/b-b/(a+b))/(1/b+2/a)
Licznik = (a+b)/b-b/(a+b)=((a+b)^2-b2)/(b*(a+b))=(a2+2a*b)/(b*(a+b))
Mianownik = 1/b+2/a=(a+2b)/(a*b)
Czyli: ((a+b)/b-b/(a+b))/(1/b+2/a)=((a2+2a*b)/(b*(a+b)))/((a+2b)/(a*b))= ((a*(a+2b))/(b*(a+b)))*((a*b)/(a+2b))=a2/(a+b)


Liczby wymierne

Każdą liczbę rzeczywistą, którą można przedstawić za pomocą ułamka o liczbach całkowitych w liczniku i mianowniku, nazywamy liczbą wymierną. Zero także jest liczbą wymierną. Wszystkie inne liczby nazyway liczbami niewymiernymi.

Czyli: 4/5, 0.041, 7 i -5.3 są liczbami wymiernymi, gdyż możemy je zapisać odpowiednio jako: 4/5, 41/100, 7/1 i -53/10.

Liczby 2^(1/2), 45^(1/3) i pi są liczbami niewymiernymi, ponieważ nie możemy ich zapisać w postaci ułamka mającego w liczniku i mianowniku liczbę całkowitą.