Potęgi i pierwiastki

Potęga

Jeżeli n jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią, symbol a^n jest zdefiniowany jako:

a^n=a*a*{...}, gdzie po prawej stronie równania jest n-razy przemnożone a.

Z tej definicji można wyprowadzić poniższe sześć podstawowych wzorów dla potęgi, zachodzących dla całkowitych dodatnich liczb m i n:

  1. mnożenie potęg
  2. potęgowanie potęgi
  3. dzielenie potęg - jeżeli m>n
  4. dzielenie potęg - jeżeli m<n
  5. potęga iloczynu
  6. potęga ilorazu

Pierwiatek kwadratowy

Liczbę x, która spełnia równanie x2=a, nazywamy pierwiastkiem kwadratowym liczby a.

Każda liczba dodatnia ma dwa pierwiastki kwadratowe. Ich wartości bezwzględne są sobie równe, lecz ich znaki są przeciwne. Dodatni pierwiastek kwadratowych oznaczamy poprzez symbol: a^(1/2). Ujemny przez -(a^(1/2)).

Ponieważ kwadrat (potęga drugiego stopnia) dowolnej liczby jest dodatni, to nie może istnieć pierwiastek kwadratowy liczby ujemnej. Jest tak w zbiorze liczb rzeczywistych. Istnieją natomiast jeszcze liczby urojone, w których zbiorze pierwiastek z liczby ujemnej istnieje.

Pierwiastek stopnia dodatniego

Jeżeli n jest dowolną liczbą całkowitą i x jest dowolną liczbą taką, że x^n=a, to x nazywamy pierwiastkiem stopnia n liczby a.

Czyli -2 jest pierwiastkiem trzeciego stopnia (pierwiastkiem sześciennym) liczby -8, gdyż (-2)^3=-8.

1. Jeżeli n jest liczbą całkowitą nieparzystą, liczba a ma dokładnie jeden pierwiastek n-tego stopnia. Pierwiastek ten oznaczamy przez a^(1/n). Jest on dodatni, ujemny lub równy zero, jeżeli a jest odpowiednio dodatnie, ujemne, lub równe zero.

Przykładowo: 32^(1/5)=2, -64^(1/3)=-4, 0^(1/7)=0.

2. Jeżeli n jest liczbą całkowitą parzystą i liczba a jest dodatnia, wtedy a ma dokładnie dwa pierwiastki n-tego stopnia. Są one równe co do wartości bezwzględnej i przeciwne co do znaku.

Przykładowo: 81^(1/4)=3 i 81^(1/4)=-3.

3. Jeżeli n jest liczbą całkowitą parzystą i liczba a jest ujemna, wtedy a ma nie pierwiatków.

Potęga o wykładniku wymiernym

Jeżeli n w definicji a^n jest liczbą wymierną, wtedy powyższych sześć wzorów dla potęg jest dalej prawdziwych. Z wzoru drugiego mamy zatem:
(a^(m/n))^n=a^((m*n)/n)=a^m.
Zgodnie z powyższym i z definicją pierwiastka n-tego stopnia a^(m/n) musi być n-tym pierwiastkiem liczby a^m. Otrzymujemy zatem wzór:
a^(m/n)=(a^m)^(1/n).
W specyficznym przypadku dla m=1 mamy:
a^(1/n)=a^(1/n).

Potęga o wykładniku 0

Niech a<>0, wtedy z wzoru 1 mamy:
{multieq[a^n*a^0][a^(n+0)][a^n]}, oraz {multieq[a^0][a^n/a^n][1]}.

Możemy więc napisać wzór:
a^0=1.

Potęga o wykładniku ujemnym

Niech Dozwolony jest tylko jeden znak '>' a<>>0 i niech n będzie dodatnią liczbą wymierną, wtedy zgodnie z wzorem 1 mamy:
{multieq[a^n*a^-n][a^(n-n)][a^0][1]}, oraz a^-n=1/a^n

Możemy więc napisać wzór:
a^-n=1/a^n

Ostatnie obliczenia

  • Odejmowanie pisemne
    1995:1989
  • Rozwiązanie równania
    x*((7*y)/4) = 12*c
  • Rozwiązanie równania
    (2*b)/4+b/3 = 10
  • Rozwiązanie równania
    (2*b)/4 = 0
  • Rozwiązanie równania
    (1/4)*y+(1/6)*y = -2