Ostatnie obliczenia

  • Odejmowanie pisemne
    2.3;0.45
  • Rozwiązanie równania
    3/x-2+1 = 2/x-3;x
    Ze zmienną: x
  • Pochodna
    (x+1)^-1
  • Rozwiązanie równania
    3/x-2+1 = 2/x-3;x
    Ze zmienną: x
  • Odejmowanie pisemne
    2.1;0.812

Rozkład na czynniki

Wzory skróconego mnożenia

Poniższe mnożenia występują tak często podczas rozwiązywania zadań, że powinny być zapamiętane:

  1. rozdzielność mnożenia względem dodawania
  2. różnica kwadratów
  3. kwadrat sumy
  4. kwadrat różnicy
  5. iloczyn sum
  6. suma sześcianów
  7. różnica sześcianów

Rozkład na czynniki przez spostrzeżenie

Jeżeli wielomian jest w postaci zgodnej z jednym z powyższych wzorów, może on być rozłożony na czynniki poprzez spostrzeżenie.

Przykład 1. Rozłóż na czynniki wielomian 18z*x^2-32z*y2.
Z wzoru 1: 18z*x^2-32z*y2=2z*(9x2-16y2)
Z wzoru 2: 9x2-16y2=(3x)^2-(4y)^2=(3x-4y)*(3x+4y)
Czyli ostatecznie: 18z*x^2-32z*y2=2z*(3x-4y)*(3x+4y)

Przykład 2. Rozłóż na czynniki wielomian x2+8x-84
Możemy zastosować wzór 5, jeżeli znajdziemy takie dwie liczby a i b, że a+b=8 i a*b=-84. Zauważamy, że warunek jest spełniony dla a=14 i b=-6, więc: x2+8x-84=(x+14)*(x-6).

Przykład 3. Rozłóż na czynniki wielomian m6-n6
Z wzorów 2, 6 i 7 mamy: m6-n6=(m3)^2-(n3)^2=(m3-n3)*(m3+n3)=(m-n)*(m2+m*n+n2)*(m+n)*(m2-m*n+n2)

Rozkład na czynniki przez grupowanie

Wiele wyrażeń trudno dopasować do przedstawionych wzorów, jednak da się je doprowadzić do postaci, w której zastosowanie omawianych wzorów jest możliwe. Robi się to poprzez grupowanie wyrazów wielomianu, czyli taką zmianę ich kolejności, aby można było wyciągnąć odpowiednie współczynniki przed nawias. Wyciągane przed nawias współczynniki trzeba tak dobrać, aby po operacji wielomian przybrał postać umożliwiającą zastosowanie wzorów skróconego mnożenia.

Przykład 1. Rozłóż na czynniki wielomian 6*b*c-a*d-2*b*d+3a*c.
Po zmianie kolejności mamy: 6*b*c-2*b*d+3*a*c-a*d=2b*(3c-d)+a*(3c-d).
Teraz możemy już zastosować wzór 1, uzyskując: (2b+a)*(3c-d).

Przykład 2. Rozłóż na czynniki wielomian x3+7x2-9x-63.
x3+7x2-9x-63=x2*(x+7)-9*(x+7)=
(x2-9)*(x+7)=(x-3)*(x+3)*(x+7)

Czasami, żeby zastosować omawianą metodę, należy dodać lub odjąć jeden bądź więcej wyrazów.

Przykład 3. Rozłóż na czynniki wielomian x4+3x2*y4+4y8
x4+3x2*y4+4y8=x4+4x2*y4+4y8-x2*y4 (dodaliśmy i odjęliśmy wyraz x2*y4)
x4+4x2*y4+4y8-x2*y4=(x2+2y4)^2-(x*y2)^2=
(x2+2y4-x*y2)*(x2+2y4+x*y2)