Wartością wyrażenia jest liczba uzyskana z dzielenia
liczby
przez liczbę
. Wartość
nazywamy licznikiem,
a wartość
nazywamy mianownikiem. Mianownik musi być
liczbą różną od zera, gdyż, jak wiemy, dzielenie przez zero nie ma
wartości.
Wartość ułamka nie zmienia się, gdy licznik i mianownik są jednocześnie pomnożone bądź podzielone przez tę samą liczbę różną od zera, czyli:
=
=
=
Ułamek uważamy za skrócony, jeżeli nie da się znaleźć wspólnej części, przez którą można podzielić bez reszty jednocześnie licznik i mianownik.
Ułamka nie można skracać poprzez usunięcie wspólnego składnika sumy
z licznika i mianownika. Przykładowo ułamek: jest już w swojej najprostszej
postaci (jest skrócony). Nie można usunąć z licznika i mianownika
wspólnego wyrazu
.
Wynikiem mnożenia dwóch ułamków jest ułamek mający w liczniku iloczyn
liczników, a w mianowniku iloczyn mianowników ułamków będących czynnikami
mnożenia:
Uzyskany rezultat powinien być skrócony. Aby łatwiej uzyskać skróconą postać wyniku mnożenia, zwykle najpierw rozkałda się na czynniki liczniki i mianowniki mnożonych ułamków, skraca się wspólne czynniki, a dopiero później mnoży.
Przykład 1. Pomnóż przez
=
Przykład 2. Pomnóż przez
=
=
Jeżeli chcemy przemnożyć ułamek przez liczbę całkowitą, wtedy zamieniamy liczbę całkowitą
na ułamek mający jedność w mianowniku, np:
=
Aby podzielić ułamek przez ułamek, zamień miejscami licznik z mianownikiem dzielnika i dalej postępuj, jak przy mnożeniu:
=
Odwrotność liczby to jedność podzielona przez tę liczbę.
Odwrotnością jest
, odwrotnością
jest
natomiast
odwrotnością
jest
. Mając zdefiniowaną
odwrotność, możemy powiedzieć, że dzielenie ułamków to pomnożenie
ułamka będącego dzielną przez odwrotność ułamka będącego dzielnikiem.
Suma ułamków o tym samym mianowniku jest równa sumie liczników
podzielonych przez wspólny mianownik:
Żeby odjąć któryś ze składników, postępuj tak samo,
uwzględniając odpowiedni znak różnicy:
Jeżeli chcemy dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, najpierw musimy je doprowadzić do wspólnego mianownika. Znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność wszystkich mianowników i używamy jej jako wspólnego mianownika. Dalej postępujamy podobnie, jak opisano wyżej.
Przykład 1. Wykonaj działania: .
W tym przypadku najmniejsza wspólna wielokrotność wszystkich mianowników to po prostu
ich iloczyn: . Aby doprowadzić pierwszy z ułamków do postaci z porządanym
mianownikiem, musimy pomnożyć jego licznik i mianownik przez:
(wspólny mianownik dzielimy przez mianownik ułamka, który chcemy doprowadzić do postaci
ze wspólnym mianownikiem). Podobnie musimy pomnożyć licznik i mianownik drugiego i trzeciego
ułamka odpowiednio przez: i
.
Uzyskujemy:
=
=
=
Wyrażenie mieszane, takie jak , gdzie
jest liczbą całkowitą, może być
obliczone poprzez zamianę
na
i dalej jak w poprzednim przykładnie.
Ułamek złożony to ułamek, którego licznik lub mianownik jest ułamkiem.
Aby skrócić ułamek złożony, najpierw redukujemy oddzielnie jego licznik i mianownik
do ułamka prostego. Później dzielimy licznik przez mianownik.
Przykład 1 Uprość:
Licznik = =
Mianownik =
Czyli: =
Każdą liczbę rzeczywistą, którą można przedstawić za pomocą ułamka o liczbach całkowitych w liczniku i mianowniku, nazywamy liczbą wymierną. Zero także jest liczbą wymierną. Wszystkie inne liczby nazyway liczbami niewymiernymi.
Czyli: ,
,
i
są liczbami wymiernymi, gdyż możemy
je zapisać odpowiednio jako:
,
,
i
.
Liczby ,
i
są liczbami niewymiernymi, ponieważ
nie możemy ich zapisać w postaci ułamka mającego w liczniku i mianowniku liczbę
całkowitą.