Potęga

Jeżeli jest dowolną liczbą całkowitą dodatnią, symbol jest zdefiniowany jako:

, gdzie po prawej stronie równania jest -razy przemnożone .

Z tej definicji można wyprowadzić poniższe sześć podstawowych wzorów dla potęgi, zachodzących dla całkowitych dodatnich liczb i :

1. 
2. 
3. - jeżeli
4. - jeżeli
5. 
6. 

Pierwiatek kwadratowy

Liczbę , która spełnia równanie , nazywamy pierwiastkiem kwadratowym liczby .

Każda liczba dodatnia ma dwa pierwiastki kwadratowe. Ich wartości bezwzględne są sobie równe, lecz ich znaki są przeciwne. Dodatni pierwiastek kwadratowych oznaczamy poprzez symbol: . Ujemny przez .

Ponieważ kwadrat (potęga drugiego stopnia) dowolnej liczby jest dodatni, to nie może istnieć pierwiastek kwadratowy liczby ujemnej. Jest tak w zbiorze liczb rzeczywistych. Istnieją natomiast jeszcze liczby urojone, w których zbiorze pierwiastek z liczby ujemnej istnieje.

Pierwiastek stopnia dodatniego

Jeżeli jest dowolną liczbą całkowitą i jest dowolną liczbą taką, że , to nazywamy pierwiastkiem stopnia n liczby .

Czyli jest pierwiastkiem trzeciego stopnia (pierwiastkiem sześciennym) liczby , gdyż .

1. Jeżeli jest liczbą całkowitą nieparzystą, liczba ma dokładnie jeden pierwiastek -tego stopnia. Pierwiastek ten oznaczamy przez . Jest on dodatni, ujemny lub równy zero, jeżeli jest odpowiednio dodatnie, ujemne, lub równe zero.

Przykładowo: , , .

2. Jeżeli jest liczbą całkowitą parzystą i liczba jest dodatnia, wtedy ma dokładnie dwa pierwiastki -tego stopnia. Są one równe co do wartości bezwzględnej i przeciwne co do znaku.

Przykładowo: i .

3. Jeżeli jest liczbą całkowitą parzystą i liczba jest ujemna, wtedy ma nie pierwiatków.

Potęga o wykładniku wymiernym

Jeżeli w definicji jest liczbą wymierną, wtedy powyższych sześć wzorów dla potęg jest dalej prawdziwych. Z wzoru drugiego mamy zatem:
=.
Zgodnie z powyższym i z definicją pierwiastka -tego stopnia musi być -tym pierwiastkiem liczby . Otrzymujemy zatem wzór:
.
W specyficznym przypadku dla mamy:
.

Potęga o wykładniku 0

Niech , wtedy z wzoru 1 mamy:
, oraz .

Możemy więc napisać wzór:
.

Potęga o wykładniku ujemnym

Niech i niech będzie dodatnią liczbą wymierną, wtedy zgodnie z wzorem 1 mamy:
, oraz

Możemy więc napisać wzór: