Skracanie ułamków

Wartością wyrażenia jest liczba uzyskana z dzielenia liczby przez liczbę . Wartość nazywamy licznikiem, a wartość nazywamy mianownikiem. Mianownik musi być liczbą różną od zera, gdyż, jak wiemy, dzielenie przez zero nie ma wartości.

Wartość ułamka nie zmienia się, gdy licznik i mianownik są jednocześnie pomnożone bądź podzielone przez tę samą liczbę różną od zera, czyli:

=
=
=

Ułamek uważamy za skrócony, jeżeli nie da się znaleźć wspólnej części, przez którą można podzielić bez reszty jednocześnie licznik i mianownik.

Ułamka nie można skracać poprzez usunięcie wspólnego składnika sumy z licznika i mianownika. Przykładowo ułamek: jest już w swojej najprostszej postaci (jest skrócony). Nie można usunąć z licznika i mianownika wspólnego wyrazu .

Mnożenie i dzielenie ułamków

Wynikiem mnożenia dwóch ułamków jest ułamek mający w liczniku iloczyn liczników, a w mianowniku iloczyn mianowników ułamków będących czynnikami mnożenia:

Uzyskany rezultat powinien być skrócony. Aby łatwiej uzyskać skróconą postać wyniku mnożenia, zwykle najpierw rozkałda się na czynniki liczniki i mianowniki mnożonych ułamków, skraca się wspólne czynniki, a dopiero później mnoży.

Przykład 1. Pomnóż przez
=

Przykład 2. Pomnóż przez
=
=

Jeżeli chcemy przemnożyć ułamek przez liczbę całkowitą, wtedy zamieniamy liczbę całkowitą na ułamek mający jedność w mianowniku, np:
=

Aby podzielić ułamek przez ułamek, zamień miejscami licznik z mianownikiem dzielnika i dalej postępuj, jak przy mnożeniu:
=

Odwrotność

Odwrotność liczby to jedność podzielona przez tę liczbę. Odwrotnością jest , odwrotnością jest natomiast odwrotnością jest . Mając zdefiniowaną odwrotność, możemy powiedzieć, że dzielenie ułamków to pomnożenie ułamka będącego dzielną przez odwrotność ułamka będącego dzielnikiem.

Dodawanie i odejmowanie ułamków

Suma ułamków o tym samym mianowniku jest równa sumie liczników podzielonych przez wspólny mianownik:

Żeby odjąć któryś ze składników, postępuj tak samo, uwzględniając odpowiedni znak różnicy:

Jeżeli chcemy dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, najpierw musimy je doprowadzić do wspólnego mianownika. Znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność wszystkich mianowników i używamy jej jako wspólnego mianownika. Dalej postępujamy podobnie, jak opisano wyżej.

Przykład 1. Wykonaj działania: .

W tym przypadku najmniejsza wspólna wielokrotność wszystkich mianowników to po prostu ich iloczyn: . Aby doprowadzić pierwszy z ułamków do postaci z porządanym mianownikiem, musimy pomnożyć jego licznik i mianownik przez:

(wspólny mianownik dzielimy przez mianownik ułamka, który chcemy doprowadzić do postaci ze wspólnym mianownikiem). Podobnie musimy pomnożyć licznik i mianownik drugiego i trzeciego ułamka odpowiednio przez: i . Uzyskujemy:
= = =

Wyrażenie mieszane, takie jak , gdzie jest liczbą całkowitą, może być obliczone poprzez zamianę na i dalej jak w poprzednim przykładnie.

Ułamki złożone

Ułamek złożony to ułamek, którego licznik lub mianownik jest ułamkiem.
Aby skrócić ułamek złożony, najpierw redukujemy oddzielnie jego licznik i mianownik do ułamka prostego. Później dzielimy licznik przez mianownik.
Przykład 1 Uprość:
Licznik = =
Mianownik =
Czyli: =

Liczby wymierne

Każdą liczbę rzeczywistą, którą można przedstawić za pomocą ułamka o liczbach całkowitych w liczniku i mianowniku, nazywamy liczbą wymierną. Zero także jest liczbą wymierną. Wszystkie inne liczby nazyway liczbami niewymiernymi.

Czyli: , , i są liczbami wymiernymi, gdyż możemy je zapisać odpowiednio jako: , , i .

Liczby , i są liczbami niewymiernymi, ponieważ nie możemy ich zapisać w postaci ułamka mającego w liczniku i mianowniku liczbę całkowitą.